怎么判断一句话是一个整体
数学上的“连续”的概念，怎么理解？
数学上的“连续”的概念，怎么理解？
（连续性在《数学分析》中是非常有影响力一个概念，它不仅本身发挥着重要作用（例如：作为函数的三大特性：连续性、可微性、可积性，之一）而且与许多其它概念都有关联（例如：极限），所以，要搞清楚它着实需要花一些力气！这里，小石头准备用 十个话题，将 连续概念的 全貌展现给大家，希望大家能喜欢！）
连续 就是 一个接一个持续不间断 之意。日常生活中 的 绳子、电源线、项链 都是 具有连续性质的事物，这些事物都是由一个个子对象组成，这些子对象排成一条线，对象之间没有间断。
数字天然可以根据大小关系排成一条线，于是数字组成的集合——数集，就有了研究联系性的必要，这就引入我们今天讨论的第一个话题：实数的连续性。
最初，人们认为：
整数集 Z 是不连续的，因为 在 0 和 1 之间，存在 1/2 将它们隔开；
有理数集 Q 是连续的，因为 Q 具有 稠密性： 在任意 两个 不同的 有理数 之间，都存在 无数个有理数；
但是，后来随着 √2 的发现，人们才知道 有理数 之间 还存在 无理数，因此 有理数集 Q 不连续，而有理数 无理数 组成的 实数集 R 才是真正 连续的。
同时，人们还认识到 稠密性 ≠ 连续性，我们需要重新寻找 实数的连续性的定义！早期，人们将 实数 和 直线上的 点 一一对应，而几何上，直线被定义为是连续的，因此与 直线 一一对应的 实数集 也是连续的，后来，经过漫长的岁月，数学家发现，对于某个数集 K，可以进行如下分割操作 ：
K 的所有数字依从小到大，从左到右，在我们面前排成 一条线。我们用刀去砍这条线，一刀下去，将 一条线 分为左右 A，B 两段 ，显然， A 和 B 满足条件：
左半 边 A 中的 任意 数字 都小于 右半边 B 中的任意 数字
称 满足上面 条件 的这种 分割操作，为 戴德金分割，记为 A|B。人们发现，因 K 是否连续，戴德金分割的结果有差异：
如果 K 不连续，则 这条线上存在缝隙，当 刀刚好 从某个缝隙点穿过 时，分割的结果是：A 没有 没有 最大值 并且 B 没有 最小值；
如果 K 连续，则 这条线上 不存在缝隙点，于是 刀 一定砍在 某个点 x 上，又因为点不能被分割，于是刀要么从 点 x 的左边穿过，这时 B 的最小值是 x，要么从 点 x的右边穿过，这时 A 的最大值是 x；
于是，大家就将上面的结论2 作为 数集K的连续性定义。实数集 R 符合这个定义的要求 而 有理数集 Q 不满足，我们称 实数为 连续性系统，简称，连续统。
不仅仅是直线，平面上的 曲线 也都是连续性的，而 曲线又与 实函数关联，于是，连续的概念就成为实函数的一个重要性质。那么，具体是 如何 在 实函数上定义连续性呢？这就是我们这里要展开的第二个话题。
一个实函数 f(x) 定义为 实数集 R 的子集 E 到 实数集 R 的 映射，记为, f: E → R (E R)。我们要搞清楚 整个 函数 f(x) 的 连续性，就要先搞清楚 函数 f(x) 在 定义域 中的 每一个 点 x 处的连续情况。
首先，如果 x 点 不存在，即，x E，则 函数 f(x) 在 x 点 看上去的确是不连续， 我们称 这样的 点 x 为奇点。
但是，这种不连续 是定义域 E 的不连续引起的，它属于 第一个话题讨论的 数集E 的连续性，而非这里要讨论的 函数 f 的连续性。函数 既然是 映射，那么 其连续性应该体现为：保持连续性，即，
将定义域 E 中的 连续部分 映射为 值域 R 中 连续的像集
而 对于 E 的不连续部分，由于 根本没有机会体现 f 的连续性，同时也无法找到 不连续的 证据，所有 我们只能默认 这部分点 在 f 上 是连续的 。
接下来，我们先分析 E 中的连续部分中的点。
设 E 中 x 附近定义域局部是连续的，如果 f 在 x 点 是连续性，则根据 保持连续性 要求， f(x) 附近的影像 也应该是连续性。但是，事实上，函数值 f(x) 可以与其 右边、 左边 或 两边的 函数值 断开，
这些情况，都违反了 保持连续性，因此 这时 函数 f(x) 在 x 就是不连续的，我们称 这样的点 x 为 f(x) 的一个断点。而只有当 函数值 f(x) 与其 两边的函数值 都连贯，
才能 说 函数 f(x) 在 x 连续，我们称 这样的点 x 为 f(x) 的一个连续点。
我们仔细观察，上面 x 左边连续、右边断开 的情况，
就会发现：
由于左边连续，当 x 从 左边无限逼近 x点 时， 函数值 f(x) 也会 无限逼近 f(x)；
而 因为 右边断开，当 x 从 右边无限逼近 x点 时，函数值 f(x) 所无限逼近的 值 A 和 f(x) 之间 相差 断开的 间距 b ，从而不相等；
我们 称 x 从 左边、右边 或 两边 无限逼近 x点 时， 函数值 f(x) 所无限逼近的 值 A 为 f(x) 在 x 点的 左极限、右极限 或 极限，分别记为：
也写成：
这里 x → x 表示： x 无限逼近 x 点，方向没有限制；x 与 x 分别限制 只从 x 的左边 与 右边 逼近。
则，根据上面的发现， 函数 f(x) 在 x 点 连续，就意味着：f(x) 在 x 点的极限 是 f(x )，即，
这就是，函数在点 x 处连续的第一种定义。
接着，再考虑 E 的不连续部分对于 上面定义的影响。我们用 x → x ∈ E 来表示 在 E 内 受 E 的制约下 x 无限逼近 x，即，只有当 E 使得 x 左（或 右）连续时，从 左（右）边逼近 才被启用：
于是，上面的定义也相应修改为：
这样以来，E 的不连续性 被从 f(x) 的 连续性中 完全排除，f(x)的连续性 只要保证 E 中连续的部分保持连续 就好了。例如，以下 E 中的不连续点 对于 f(x) 都是连续的：
特别是 x 这样的 孤立点，使得 既不能从 左边逼近 也 不能从 右边，于是 逼近 失去意义，它总是连续的！
最后，在 函数 f(x) 关于点x 连续性定义基础上，我们只要再定义：
如果一个函数 f(x) 在每一个点 x 处都是连续的，则称该函数 f(x) 是连续函数。
前面的讨论说明 极限 和 连续性 是紧密相关的，因此 我们有必要开启第三个话题 ，以通过进一步分析 极限，来 揭示 连续性 的根深层 的内容。
上面极限定义中用 箭头 表示的 “无限逼近” ，仅仅是一种直觉概念，并不是 明确的 数学定义。 这种早期的微积分漏洞，后来被数学家用 ε-δ 语言 补足。
对于 任意 极限 x → x, f(x) → A，我们 令，
δ |x - x|
则 δ 表示 当前 x 逼近 x 的逼近距离，由于 无限逼近 要求 x ≠ x，所以 逼近距离 δ |x - x| 0。
同理，可以 令，
δ |f(x) - A| 0
于是，极限 x → x, f(x) → A，可以描述为：
当 x 到 x 的 逼近距离 δ 无限小时， f(x) 到 A 的逼近距离 δ 也跟着无限小。
这里 δ 的无限小，就意味着：
给定义 任意 f(x) 到 A 的逼近距离 ε 都 存在 （δ 导致下 的）逼近距离 δ ε。
将这句话，翻译成数学语言，就是：
对于任意 ε 0，都存在 δ 0，使得 满足 |x - x| ε 的 点 x 有 |f(x) - A| δ
这就是 最初 极限的 ε-δ 语言定义，但 这个定义存在瑕疵，考虑下面的情况，
函数 f(x) sin(1/x) 在逼近 x 0 时的值会不停在 -1 到 1 之间震荡，所以 x 0 应该没有 极限值才对。但是根据 上面的 定义， A 0 却是 x 0 处的极限，因为：
对于任意 的 ε 0 ，总存在 δ 1/ π 0，使得 满足 |x - 0| δ 的 x ±1/ π 有 |sin(1/x) - 0| |sin(±π)| 0 ε
为了避免这种的情况发生，我们要求：
随着 δ 的减小 δ 是递减的，即，对于 任意 逼近距离 小于 δ 的逼近点 x，都有 f(x) 到 A 的 逼近距离 小于 δ
翻译成数学语言，就是：
对于 任意 满足 0 |x - x| δ 点 x 都有 |f(x) - A| δ
用这个要求，修正前面的定义，最终 ε-δ 语言下 极限的定义：
如果 对于任意 ε 0，都存在 δ 0，使得 满足 0 |x - x| δ 的点 x 都有 |f(x) - A| ε，则 称 A 是 f(x) 在 x 点的极限。
对于，左极限 或 右极限，我们只需要在上面定义中，加入 x x 或 x x 的条件就可以了。
与极限类似，我们也可以用 ε-δ 语言 来描述 前面的 函数的一点连续性：
给定 f(x) 上的一点 x，如果 对于任意 ε 0，都存在 δ 0，使得 满足 |x - x| δ 的点 x 都有 |f(x) - f(x)| ε，则 f(x) 在 x 点处连续。
这里允许 x x （区别于 极限的定义）有两方面原因：
已经规定了 x 是 f(x) 上的点，即，x ∈ E 存在；
为了让 孤立点 是 连续点。
到此为止，我们所讨论的 函数连续性 仅仅是对 一元函数而言的，那么多元函数的 连续性 又是什么呢？在接下来的第四个话题中，我们来讨论这个问题。
一个 m 元函数 记为 f: E → R (E R)，其中，
称为 m 维欧氏（向量）空间，R1 R 就是 实数空间。
注意：这里 变量 的上标 和 变量 的 下标 一样，表示 序号。
也就是说，多元函数 f(x) f(x1, x2, ..., x) 就是以 向量 x (x1, x2, ..., x) 为 变量的 函数。
设 x (x1, x2, ..., x) ∈ E，并且 x 周围的 定义域 连续性。
我们，定义 x → x 为：
x1 → x1, x2 → x2, ..., x → x
其中 个变量 的 无限逼近 是 独立的，这保证了 向量 x 可以从任何方向 逼近 向量 x 。
这样以来，前面 一点连续的第一个定义中极限条件，对于 多元函数，就解释为：
接着，我们在 R 中定义 向量 x 与 x 之间的 距离为：
| x - x| √[(x1 - x1)2 (x2 - x2)2 ... (x - x)2]
注意：这里 () 的上标 表示指数。
这样以来，前面一元函数一点连续的 ε-δ 语言 描述 对于多元函数依然有效。
多元函数 的连续性，依然是 对 E 内部而言的，忽略 E 本身的 不连续部分。
到这里，我们的升级并没有结束。既然 向量可以作为 函数的 变量，那么 就可以 作为 函数的 值，这样的函数 称为 向量函数。
多元向量函数 f: E → R (E R)，可以认为是 n 个 m元函数 的向量，即，
f(x) (f1(x), f2(x), ..., f(x))
于是，前面 一点连续的第一个定义中极限条件，对于 多元函数，就解释为：
而，上面已经定义了 距离，故 一点连续的 ε-δ 语言 描述，对于 多元向量函数 也是无缝 一致。
下面，以最简单的多元向量函数——复函数 为例，来看看 上面抽象讨论的 具体面貌。
一个复函数，记为 f(z) : C → C ，其中 复平面 C 二维平面 R2 的扩展，具有 R2 的完全性质。复函数 可以写为：
f(z) u(x, y) iv(x, y)
它将 一个复平面 上的 任意 点 z x iy 映射为 另一个复平面 上的点 f(z) u(x, y) iv(x, y)，同时，将整个前一个复平面 映射为 后一个复平面的一部分。
点 z 附近 的连续或间断情况如下：
根据，前面讨论，无限逼近 z → z 解释为 x → x, y → y。
极限连续条件：
在这里的意思是：z 从任意方向 无限接近 z 时，f(z) 都会无限接近 f(z)， 解释为：
用 ε-δ 语言 描述为：
对于任意 实数 ε 0，都存在 实数 δ 0，使得 对于一切 |z - z| δ 的 复平面上的 点 z 都有 |f(z) - f(z)| ε。
其中，复数间距离定义为：
|z - z| √[(x - x)2 (y - y)2]
前一个话题中，提到 多元函数 定义域 E 的连续性，我们 并没有深究，其实这里是有问题的，在接下来的 第五个话题中，我们来讨论这个。
首先，我们思考：一条线 上缺失点，则 这条线 一定断开，不再连续，但，一个 平面 上 缺失点，则 只能 说明 这个平面 有 破洞，不再完整，不能说明 平面 不连续，更高维度的空间也是如平面一样。因此，对于 任意维度空间 V，来说，我们用 完整的概念 来代替 连续，称为 空间 V 的完备性。可以认为，完备性 是 连续概念的 升级， 一维空间的 完备性 就是 连续性。
其实，多元函数，也已经不仅仅局限是一条曲线了，它们可能是曲面 或 超曲面，其所谓 连续性也只是表示 曲面 上没有破洞 ，即， 完整之意，但 为了 兼容性，我们依然 称之为 函数连续性。
其次，我们 第一个话题 中讨论的 数集 K 的 连续性定义，默认要求 K 中元素 是可以排除一条直线，而高维度的空间是 平面 或 超平面，根本就不是 直线，因此 这个定义无法 被 完备性 使用，我们需要 重新寻找，一种新的方法，来判定 空间中 是否有 点的缺失。
要 判定 空间 V 中 某个点 A 是否缺失，我们首先要 指向 这个点 处，前面 极限的无限逼近 是一个好的 思路，
如果 我们 可以找到： 一个 函数 f: E → V（E R），当 x 无限逼近 x 时，f(x) 无限逼近 某处，则
如果 V 在 该处 没有缺失，对应 点 A，则 f(x) 在 x 点的极限 存在，就是 A；
如果 V 在 该处缺失，则 f(x) 在 x 点没有极限；
如果，判别 函数 f(x) 是 无限逼近 某处 呢？原来的 ε-δ 语言下的 判别标准：
对于任意 ε 0，都存在 δ 0，使得 满足 0 |x - x| δ 的点 x 都有 |f(x) - A| ε
显然不行，因为 我们 无法 确定 A 点 是否存在，不过我们可以对这个判别标准，进行修改：
对于 任意 ε 0，都存在 δ 0，使得 满足 0 |x - x| δ 的任意两点 x x, x 都有 |f(x) - f(x)| ε
这个新判别标准，避免了 A 的出现，但又 可以证明 与原判别标准 等价，堪称绝妙。
至此，我们就有了 V 完备性的一个粗糙条件，
任意一个 在 x 满足 新判别标准 函数 f(x): E → V，都在 x 处 有极限
这个条件有些复杂，可以做进一步简化，我们 固定 x ∞，让 E 为 自然数集 N 并令，
a f(0), a f(1), ...., a_n f(n), ...
这样 我们就将 函数 f(x) 转化为 序列 a, a, ....，函数 f(x) 在 x 处是否极限，转化为 序列 a, a, .... 是否收敛。对于序列 新判别标准也更简单：
对于 任意 ε 0，都存在 自然数 N ，使得 任意 自然数 m, n N 都有 |a_m - a_n| ε
称，满足这个条件的序列为基本列。于是 空间 V 完备性的 最终定义为：
如果 V 中任意基本列 都是 收敛列，则称 V 是完备的。
这个定义，仅仅要求 V 中定义有距离 |a_m - a_n|，我们前面已经定义了 欧氏空间 R 中的 距离，因此 这个定义可以用于 判断 欧氏空间 的 子集 E 的 完备性。
空间 V 中的距离，是 V 上的 二元函数 d(x, y): V × V → R，它满足：
正定性：d(x, y) ≥ 0，d(x, x) 0；
对称性：d(x, y) d(y, x)；
三角不等式：d(x, y) d(y, z) ≤ d(x, z)；
我们称 定义有 距离函数 的空间 V 为 距离空间，记为 (V, d)。可以验证前面定义 的 距离 满足上面的条件。
空间完备性定义，对于任意一个距离空间都适用。
注意：一个空间可以定义多种距离函数，例如 R 中也可以这样定义距离：
d(x, x) |x1 - x1| |x2 - x2| ... |x - x|
上一个话题 引入了 距离空间 的概念，如果我们回顾，前面 多元向量函数的 ε-δ 语言所描述 的 连续性 定义，就会发现，这个定义也仅仅依赖于 距离。这说明，对于 任意距离空间 (V, d) 到 (W, d) 的映射 f: V → W，我们都可以定义其一点连续性为：
如果 对于任意 ε 0，都存在 δ 0，使得 满足 d(x, x) δ 的点 x 都有 d(f(x) - f(x)) ε，则 f(x) 在 x 点处连续。
这样 我们就将 函数的连续性 推广为 距离空间间映射的连续性。到这里，大家不禁会问：有没有比 距离空间 更 一般的空间 呢？如果有，这个空间上映射的连续性 又是如何定义的呢？ 接下来的第六个话题，我们来讨论这个问题。
让我们回到最初，讨论 实函数 的地方！
对于 实函数 f(x) 定义域 E 中 的 任意集合 U， 定义 U 在 f 下的像 为：
f(U) {y : x ∈ U，f(x) y}
然后，再仔细观察比较，f(x) 在 x 点，两边断开 的情况，
以及 两边连贯 的情况，
我们就会发现：
如果 x 是 间断点，则 存在 真包括 f(x) 的区域 V，对于 任意 真包括 x 的 区域 U 都 无法 使得 U 的像 f(U) 包含 在 V 内；
如果 x 是 连续点，则 对于任意 真包括 f(x) 的区域 V，都 存在 真包括 x 的 区域 U，使得 U 的像 f(U) 包含 在 V 内，
其中，区域 U 真包括 x ，的意思是： U 包括 x 但不仅仅 包括 x。
这里必须是真包括，因为，如果 允许 U 只包括 x，即， U {x} ，则 f(U) {f(x)} 显然包含于 V，于是，上面的 发现1 就不成立了。
考虑 包含 x 的开区间 (a, b)，因为 a x，根据 实数的稠密性，一定存在 x 使得 a x x，故 (a, b) 一定不仅仅包括 x，于是，要让 U 真包括 x，我们只需要让 U 包括 包含 x 的开区间 (a, b) 就可以了。我们称 包括 x 的某个开区间 的区域 为 x 的邻域。
对上面的发现2进行整理，我们就可以得到 实函数一点连续的第二个定义：
如果 对于任意 f(x) 的邻域 V，都 存在 x 的 邻域 U，使得 f(U) V，则 称 函数 f(x) 在 x 点连续。
若，令 V {y : |y - f(x)| ε}，U { x : |x - x| δ }，则 上面的定义 其实就是 第一个定义的 ε-δ 语言 描述了。
对于多元向量函数，因为 平面，超平面 没有 区间一说，所有，我们用 开集 代替 开区间，重新定义邻域如下：
包括 x 的某个开集 的区域 称为 x 的邻域。
至此，这第二个定义，就可以无缝迁移到 元向量函数 上了。同样以 前面的复函数 f(z) 为例，观察比较 z 附近 连续 和 间断的 情况，
这与前面的发现完全一致。
这个全新的一点连续定义仅仅依赖邻域的概念，而邻域又是由开集来定义，所以 任意集合 只要 在其中 指定 开集， 我们就可以得到 其上 映射连续性了。
指定了开集的 集合 X，被称为 拓扑空间，如果用 τ 表示 X 中 全体开集组成的 子集族，则 拓扑空间 记为 (X, τ)。开集 是 开区间 的拓广 概念，它需要满足如下条件：
全集 X 与 空集 都是开集；
任意 多个 开集的 并 依然是开集；
任意 两个 开集 的 交 依然是开集；
我们，可以 证明 拓扑空间 是比 距离空间 更广泛的 空间。
拓扑空间之间的 映射，称为 拓扑映射，其 一点连续性，由第二个定义提供。
至此，关于 映射的一点连续性，基本上算是讨论清楚了，接下来的第七个话题，让我们来讨论一下映射整体连续性问题。
类似前面的 连续函数 概念，我们定义 映射的整体连续性，如下：
如果 映射 f 在其 定义域 中 每一点 都连续，我们称 f 是连续映射。
这个定义依赖，一点连续性！其实，对于 拓扑空间 (X, τ) 到 (Y, τ) 的 拓扑映射 f: X → Y，我们也可以 用开集 来直接定义 其整体连续性。
对于 映射 f 的 值域 任意 区域 V Y，定义 V 在 X 中的 原像 为：
f1(V) {x ∈ X : f(x) ∈ V}
再回到最开始，观察比较，连续实函数 与 非连续实函数，
我们发现：
对于连续函数：任何开区间（开集） A 的 原像 f1(A) 依然是 开区间（开集）；
对于非连续函数：存在开区间（开集） A 的 原像 f1(A) 不是 开区间（开集）。
对上面的 发现1，进行整理，我们就到如下 关于 拓扑映射整体连续性的 定义：
如果 拓扑映射 f，使得 Y 中的任意 开集 A 的原像 f1(A) 依然是 X 的开集，
即，
A ∈ τ f1(A) ∈ τ
则称 f 为 连续映射。
除此之外，我们将 闭区间 推广为 闭集 ，定义如下：
开集关于全集X的补集，
然后，再根据进一步观察比较，闭集于上面的情况，
不难发现：
对于连续函数：任何闭区间（闭集） A 的 原像 f1(A) 依然是 闭区间（闭集）；
对于非连续函数：存在闭区间（闭集） A 的 原像 f1(A) 不是 闭区间（闭集），
这说明，我们将上面 拓扑映射整体连续的定义 中的 开集 替换为 闭集 后 依然 有效。
上面的整体连续性是基于一个一个点的，可以称为 逐点连续，下面第八个话题，我们讨论另外一种 整体连续性——一致连续。
考虑实函数 f: E → R (E R)，如果 对于任意 实数 ε 0，都存在 实数 δ 0，使得 对于一切 |x - x| δ 的 x 和 x 都有 |f(x) - f(x)| ε，我们就称 f 是一致连续的。
我们只要将 x 替换为 x 并固定，则 上面的定义 就是 x 点连续的定义，然后 再放开 x，则 上面的定义 保证了 每个 x 处的连续性，进而，也就保证了 逐点连续，因此 一致连续的 一定是 逐点连续的。
但是反过来，逐点连续 不一定是一致连续了。考虑 前面那个 函数 f(x) sin(1/x)，我们令
E (0, π]，x 1 /(kπ) , x 1/(kπ π/2)，k 是自然数，
则 有，
|x - x| 1/[(2k 1)kπ]
|f(x) - f(x)| |sin(kπ) - sin(kπ π/2)| | 0 ± 1 | 1
这样以来，对于 存在 实数 1 ε 0，对于 任意 δ 0，由于 E 中的点 x 和 x 可以无限小， 于是 总是 存在 k 使得 |x - x| 1/[(2k 1)kπ] δ ，但 |f(x) - f(x)| 1 ε。这说明 f(x) sin(1/x) 在 E 上 不是一致连续的。
那么，什么情况下，逐点连续 一定是 一致连续 呢？
由于 f 逐点连续，则意味着 给定 任意 ε 0， 对于 每个 x ∈ E，都存在 δ_x 0 使得 满足 |x - x| δ_x 的点 x 都有 |f(x) - f(x)| ε/2。
令，V_x { x ∈ E : |x - x| δ_x/2}，因为 每个 x ∈ E 都属于一个 V_x 所以，
如果，能 从 E 中找到 有限 n 个 x： x1，x2 , ..., x 保证：
则，令
δ min {δ_x1, δ_x2, ..., δ_x } / 2
由于， 每个 δ_x 0， 而 n 是有限的，所以 δ 0。
注意：这里必须保证 n 有限因为，当 n 无限时，即便是 每个 δ_x 0，它们的最小值依然可以 为 0，例如：
min {1, 1/2, ..., 1/n, ... } 0
对于 任意满足 |x - x| δ 的 x 和 x，中 必然 有 x 属于 某个 δ_x，满足，
|x - x| δ_x/2
根据 距离的三角不等式：
|a - b| ≤ |a - c| | b - c|
有，
|x - x| ≤ |x - x| |x - x| δ δ_x/2 ≤ δ_x
由 |x - x| δ_x/2 δ_x 与 |x - x| δ_x 分别可得到，
|f(x) - f(x)| ε/2 与 |f(x) - f(x)| ε/2
再次使用 三角不等式，就得到：
|f(x) - f(x)| ≤ |f(x) - f(x)| |f(x) - f(x)| ε
这样，就推导出了 一致连续。
在推导过程中，我们要求：
可以从 E 的 任何 一个开区间（开集）的覆盖（简称 开覆盖） V {V_x : x ∈ E}， E ∪V 中找到 有限个元素的子集 W {V_x1, V_x2, ..., V_x} V 依然是 E 的覆盖 E ∪W。
我们称 满足上面要求的 集合 E 为紧致的。
数学家证明了：任意 闭区间 都是 紧致的！所以说，闭区间上的 连续函数 一定是 一致连续的。
如果 从新令 E [π, 2π]，则 E 是一个闭区间，于是之上的 连续函数 f(x) sin(1/x) 这会就变成 一致连续的了。前面，由于 E 中的点 x 和 x 已经不可以无限小了，于是前面 的反例 也就不成立了。
不知不觉，已经到第九个话题，这里我们讨论与连续概念相关的间断和连通问题。
考虑 实函数上 f 上任意一点 x ，x 与 右（左）边断开，有两种情况，
x 的右（左）极限存在，但不等于 f(x)，这种断开 称为 第一类间断；
x 的右（左）极限根本不存在，这种断开 称为 第二类间断；
设 x 是间断点，如果 x 只包含第一类间断的 间断点，称 x 为第一类间断点，否则 称 x 为第二类间断点。
如果 第一类间断点 的 左极限 有极限，则称 其为 可去间断点。
单调函数如果有间断点 则其必然是第一类间断点。
前面我们用 完备性 替换连续性来 描述 空间是否有漏洞问题，如果空间的漏洞如刀痕，则这些刀痕 是有可能 将 整个空间 分割的，这就牵扯到了 空间的 连通性问题。
对于 一个拓扑空间 (X, τ) 可以有两个不同的连通：
如果 X 不能分割为 两个 不相交的开集的并集，即，
A, B ∈τ A ∩ B ∧ A∪ B X
则，称 X 是连通的；
如果 X 中任意两点 x, y 都存在 从 x 到 y 的 道路，即，
x, y ∈ X r: [0, 1] → X r(0) x ∧ r(1) y
则，称 X 是道路连通的；
拓扑空间之间的 连续映射 f: X → Y，可以保持 连通性，即，如果 X 是 连通的，则 其 在 Y 中的像 f(X) 也是 连通的。连续映射 也可以保持 道路连通性 以及前面的 紧致性。这些可以被 连续映射 保持的性质，称为 拓扑性质。
最后，在第十个话题，我们对以上讨论 进行补充与总结。
首先，小石头将以上讨论中所提到的主要概念绘制成关系图如下，方便大家理清。
其次，前面提到的 有理数（实数）的 稠密性，与 有理数 在 实数 中 稠密 是两个概念。
我们说 拓扑空间 X 的 子集 A 在 X 中稠密，是指 对于 X 中的每个点 x 都有 A 中的序列 a, a, ...， 收敛于 x（一般定义为： A 的闭包 ā X）。
有理数 在 实数 中 是稠密，因为 对于 每个实数 x，
要么表示为 有限小数，例如：x 1/2 0.5，则， 收敛于 x 1/2 的序列 就是 0.5, 0.5, ...；
要么表示为 无限循环小数，例如： x 1/3 0.3，则，收敛于 x 1/3 的序列 就是 0.3, 0.33, 0.333, ...；
要么表示为 无限不循环小数，例如： x π 3.14159，则，收敛于 x π 的序列 就是 3.1, 3.14, 3.141, ...；
其三，连续性与可导性 之间，靠极限关联。由于，f(x) 在 x 点的导数定义为：
如果 f(x) 在 x 处不连续，则 当 x 趋近 x 时，|x - x| 趋近 0 ，|f(x) - f(x)| 不趋近 0，这导致 f(x) ±∞ ，即， f(x) 在 x 处不可导。
以上结论的逆反命题，就是：
f(x) 在 x 处可导 则 f(x) 必然在 x 处连续。
反之则不成立！大名鼎鼎的 Weierstrass 函数，就是处处连续处处不可导的极端例子。
其四，函数连续性 可以在 函数的代数运算 上保持，即，连续函数的 加减乘除 依然是 连续函数。微分，积分 也可以保持 函数连续性。逐点收敛的函数序列，也可以保持 函数连续性（而函数上 的可导性 与 可积性，则 要求 是一致收敛）。
函数连续性还有一些性质（包括 在 中值定理 中的 作用），这里篇幅有限无法再展开讨论了，以后有机会再说。
最后，以上讨论以理解概念为主，小石头几乎忽略了能够被省略的证明，如果大家对有些命题和定义有疑问，可以参考 《数学分析》。
同时为了，让概念更容易理解，以上讨论也 牺牲了 严谨性，有写论述可能不是那么数学。
还有，小石头讨论所选的 切入角度 和 推进方式，都是 针对 学《高等数学》的条友而设计的，如果你是学《数学分析》可能没有阅读的必要，如果你没有学过 《高等数学》可能会引起不适合，请谨慎阅读。
(小石头毕竟数学水平有限，出错在所难免，欢迎大家批评指正！)