用第一类换元法求不定积分
不定积分求解方法？
不定积分求解方法？
一、积分公式法
直接利用积分公式求出不定积分。
二、换元积分法
换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。
1、第一类换元法（即凑微分法）
通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。
2、注：第二类换元法的变换式必须可逆，并且在相应区间上是单调的。
第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。常用的换元手段有两种：
（1） 根式代换法，
（2） 三角代换法。
在实际应用中，代换法最常见的是链式法则，而往往用此代替前面所说的换元。
三、分部积分法
设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)udv vdu。移项得到udvd(uv)-vdu，两边积分，得分部积分公式：∫udvuv-∫vdu ⑴。
称公式⑴为分部积分公式。如果积分∫vdu易于求出，则左端积分式随之得到。
分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u，v。
不定积分四则运算方法？
不定积分没有四则运算法则，只有基本公式法，第一类换元积分，第二类换元积分，分部积分等。
1、积分公式法：直接利用积分公式求出不定积分。
2、第一类换元法（即凑微分法）：通过凑微分，最后依托于某个积分公式，进而求得原不定积分。
积分常用法则公式：
1、∫0dxc 不定积分的定义。
2、∫x^udx(x^(u 1))/(u 1) c。
3、∫1/xdxln|x| c。
4、∫a^xdx(a^x)/lna c。
5、∫e^xdxe^x c。
6、∫sinxdx-cosx c。
不定积分第一类换元法是求导？
把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法，简称换元法，换元法通常分为两类：
第一类换元法：
设f(u)具有原函数F(U)，即。
F#39(U)f(u)，∫f(u)duF(U) C。
如果u是中间变量,uφ(x)，且设φ(x)可微，那么，根据复合函数微分法有：
dF(φ(x))f(φ(x))φ#39(x)dx。
从而根据不定积分的定义就得：
∫f[φ(x)]φ#39(x)dxF[φ(x)] C[∫f(u)du] (uφ(x))。
于是有下述定理：
定理1：设f(u)具有原函数，uφ(x)可导，则有换元公式：
∫f[φ(x)]φ#39(x)dx[∫f(u)du] (uφ(x)) (1)。
将所求积分∫φ(x)dx表成∫f[φ(x)]φ#39(x)dx就是凑微分过程，然后就是换元，也就是将积分变量x换成u；最后是求原函数，实际上就是∫f[φ(x)]φ#39(x)dx不好求。
而∫f(u)du好求，所以先求出后一个不定积分；最后再将变量u换成x。当熟练掌握这一方法后，可以不必引入变量u。
由此定理可见，虽然∫f[φ(x)]φ#39(x)dx是一个整体的记号，但从形式上看，被积表达式中的dx也可当作变量x的微分来对待，从而微分来对待。
从而微分等式φ#39(x)dxdu可以方便地应用到被积表达式中来，我们在上节第一题目中已经这样用了，那里把积分∫F#39(x)dx,记作∫dF(x)，就是按微分F#39(x)dxdF(x)，把被积表达式F#39(x)dx。记作dF(x)
设要求∫g(x)dx，如果函数g(x)可以化为g(x)f[φ(x)]φ#39(x)的形式，那么：
∫g(x)dx∫f[φ(x)]φ#39(x)dx[∫f(u)du] (uφ(x))。
这样，函数g(x)的积分即转化为函数f(u)的积分，如果能求得f(u)的原函数，那么也就得到了g(x)的原函数。
第二类换元法：
上面介绍的第一类换元法是通过变量代换uφ(x),将积分∫f[φ(x)]φ#39(x)dx化为积分∫f(u)du。
下面将介绍的第二类换元法是，适当地选择变量代换xφ(t),将积分∫f(x)dx化为积分，∫f[φ(t)]φ#39(t)dt，这是另一种形式的变量代换，换元公式可表达为：
∫f(x)dx∫f[φ(t)]φ#39(t)dt。
这公式的成立是需要一定条件的，首先，等式右边的不定积分要存在，即∫f[φ(t)]φ#39(t)dt有原函数；其次，∫f[φ(t)]φ#39(t)dt求出后必须用xφ(t)的反函数tφ^(-1)(x)代回去。
为了保证这反函数存在而且是可导的，我们假定直接函数xφ(t)在t的某一个区间(这区间和所考虑的x的积分区间相对应)上是单调的，可导的，并且φ#39(t)0。
归纳上述，给出下面的定理：
定理2 设xφ(t)是单调的，可导的函数，并且φ#39(t)≠0.又设f[φ(t)]φ#39(t)具有原函数，则有换元公式。
∫f(x)dx{∫f[φ(t)]φ#39(t)dt} (tφ^(-1)(x))(2)。
其中φ^(-1)(x)是xφ(t)的反函数。
注意：与第一类换元积分法相反，第二类换元积分法就是由于积分∫f(x)dx不便计算，而改求∫f[φ(t)]φ#39(t)dt。关键是：如何选择变量替换。