样本方差和总体方差的关系推导
为什么样本均值的方差等于总体方差除以n？
为什么样本均值的方差等于总体方差除以n？
设X为随机变量，X1,X2,...Xi,...,Xn为其n个样本，DX为方差。 根据方差的性质，有D(X Y)DX DY，以及D(kX)k^2*DX，其中X和Y相互独立，k为常数。 于是D(ΣXi/n)ΣD(Xi)/(n^2)DX/n
样本方差和标准差为什么是初除以n-1而不是n？
样本方差的表达式除以 而不是除以 真的是日经话题。实际上，唯一的解释是除以 的定义式可以使得样本方差 作为对总体方差 的估计量，是无偏的。
换句话说，设 是从（总体）均值为 （总体）方差为 的总体中的随机抽样，那么，样本均值定义为 ，样本方差定义为 就有如下结论： ， 。这就是无偏性的体现。这里注意，总体并不要求是正态总体，任意分布的总体均有如上的性质。
这里稍微提一下无偏性的重要性。实际上，要求统计量或者某个参数的估计量具有无偏性，比想象中要重要一些。比如你说，如果是有偏的话，那我最后估计的结果里减去偏差不就行了吗？这样做其实暗含了所谓的“偏差”你是知道具体是多少的，而且还暗含了“偏差”是个常数。而实际上，一个估计量有偏，当然可以偏得五花八门——从而造成了不能知道到底是多少。其次，如果对统计量理解深刻的话，你会知道我们所谓的点估计，实际上是使用一个随机变量（如这里的 和 ）去估计一个参数的值（非随机变量），而随机变量是对应着有分布的（比如正态总体下， ， ），所以，即使总体的参数不变
，不同批次
的样本 做出来的点估计（们）也是不一样
的，而无偏性保证了，即使这些点估计们彼此不同，但如果批次 （不是样本 ）越来越多，这些点估计们的柱状图画出来一定是围绕真实值 的正态分布。
如果你觉得上述分析是为了解释而解释，不太自然，那么可以考虑这样的例子。设 是从（总体）均值为 （总体）方差为 的正态
总体中的随机抽样，那么根据极大似然估计（MLE）， ， （注意这里MLE解出来是除以 的）。不同的估计方法会有不同的统计量，比如，如果使用限制极大似然估计（REML），这里的估计就变成了 ， （注意这里的REML解出来是除以 的）。自然你会问，为啥两个方法结果不同？或者说REML到底限制了什么？这个时候，你再来用自由度解释：当 和 都是未知的时候，回忆你解MLE的过程，求导之后设为零，得到两个方程，而 是从第一个方程先
解出来的，也就是说不需要第二个方程就能解出 ，而将其带入第二个方程，才继续解出 。而MLE是不考虑求解过程细节的，所以得到的 和 都是除以 的；REML考虑到了这个细节，所以 是除以 的。
最后补充一下， 这种除以 作为总体方差的估计，有些时候也是有优势的，即使它是有偏的：比如，当 是已知时， 能到达C-Rao下界的；当 未知时，则C-Rao下界无法达到。