矩阵的秩一定是方阵吗
矩阵经过行阶梯就能看出秩吗？
矩阵经过行阶梯就能看出秩吗？
行阶梯形矩阵，可以用于快速判断矩阵的秩，还可以很快看出方阵是否可逆，另外，还可以看出矩阵中线性无关的列向量，以及找出极大线性无关组，同时快速将其余向量用这个极大线性无关组线性表示。如果一个矩阵满足：（1）所有非零行（矩阵的行至少有一个非零元素）在所有全零行的上面.即全零行都在矩阵的底部。（2）非零行的首项（即最左边的首个非零元素）,也称作主元,严格地比上面行的首项更靠右。（3）首项所在列,在该首项下面的元素都是零；例如,下面4×5矩阵是行阶梯形矩阵
初等矩阵一定是方阵吗？
1. 可逆矩阵一定是方阵, 这是线性代数范围的定义. 之后还会有广义逆矩阵, 那时候就不一定是方阵了.
2. 初等矩阵一定可逆, 因为它们的行列式都不等于0
1.方阵ab的秩r(ab)≤min{r(a),r(b)}≤2，a为3*2,b为2*3，他们的秩最大为2，而三阶方阵可逆的充要条件是r(ab)3，所以ab一定不可逆
2.初等矩阵为单位阵i（也有的版本是e，总之是单位阵啦）作1次初等变换得到的矩阵，设这两个n阶初等矩阵为e1,e2,则由初等矩阵的性质，必存在n阶可逆方阵p1,q1;p2,q2,使得e1p1·i·q1,e2p2·i·q2.（这个性质在书上应该查得到，在初等变换里面的）。所以e1e2p1·q1·p2·q2。p1,q1,p2,q2均为n阶可逆方阵，故e1e2为n阶可逆方阵。
3.第三个我没太明白题目的意思。
要是“a为三阶方阵，若a的平方不等于0，|a|0，则a不等于0，”这个是正确的。三阶方阵a的秩r(a)≥r(a的平方)（秩的性质），a的平方不等于0，则r(a的平方)≥1，故r(a)≥1，所以a不等于0（零矩阵的充要条件是秩等于0）
要是“若a为三阶方阵，则a不等于0，a的平方不等于0，|a|0”，显然a为三阶方阵是推不出来a不等于0，a的平方不等于0，|a|0的，比如三阶单位阵。
要是“a为三阶方阵，若a不等于0，a的平方不等于0，则|a|0”这个也不对，反例仍然可以是三阶单位阵。
要是“a为三阶方阵，若a的平方不等于0，则|a|0，a不等于0，”这个也不对，反例仍然可以是三阶单位阵。