欧拉公式的向量证明
什么是曲率？
什么是曲率？
（小石头来尝试着回答这个问题！）
关于曲率概念的简要发展历史：
早期曲率的概念是伴随着《微积分》一起出现地，它是对于曲线而言的，也是构成经典微分几何中《曲线论》的基石之一；
之后，以高斯为主的数学家将 曲线的曲率 引入到曲面中，得到了：法曲率、侧地曲率、高斯曲率 等概念，同时也促成了《曲面论》的诞生；
再之后，黎曼将 高斯曲率 等概念 推广到 任意维度的流形中 以 构建《黎曼几何》，从而开启了现代微分几何的大门。
接下来，小石头将详细介绍前两个阶段中的曲率。（至于第三个阶段的曲率，由于需要微分流形相关的一系列基础知识，无法在本回答中进行讨论，以后时机成熟时我们再讨论。）
基于《解析几何》的知识，我们知道，三维空间 R3 的空间曲线，可写成如下参数形式（t ∈ R）：
平面向量欧拉定理？
这个是多面体中的欧拉定理：顶点数 面数-边数2
这个是多边形中的欧拉定理（即平面上的欧拉定理）： 设一个二维几何图形的顶点数为V，划分区域数为Ar，一笔画笔数为B,则有： V Ar-B1 (如：矩形加上两条对角线所组成的图形，V5,Ar4,B8)
三角形内心的向量恒等式咋证明？
1、满足a×向量oA b×向量oB c×向量oC就行，abc为变长~用[AB]表示向量AB，c表示AB的长：
即[OA][OB] [BA]；
∵a[OA] b[OB] c[OC]0，
∴[OA]{-b[OB]-c[OC]}/a[OB] [BA]，
∴(a b)[OB] c[OC] a[BA]0，
(a b){[OC] [BC]} [OC] a[BA]0，
(a b c)[OC] (a b)[BC] a[BA]0，
(a b c)[OC]-a[AC] b[CB]0，
[OC]*[AC]{ab^2-b[CB]*，
[[AC]}/(a b c)ab^2(1 cos∠C)/(a b c),∴cos∠OCAab(1 cos∠C)/{|OC|(a b c)}，
同理得[OC]*[BC]ba^2(1 cos∠C)/(a b c)，
∴cos∠OCBab(1 cos∠C)/{|OC|(a b c)}，
∴cos∠OCAcos∠OCB,∴OC平分∠C,同理可证其他两式，
∴O为内心。
扩展资料
内心性质
设△ABC的内切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，p(a b c)/2
1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
2、∠BIC90° ∠BAC/2
3、在RtΔABC中,∠A90°,三角形内切圆切BC于D，则S△ABCBD×CD
4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：
向量OI[a(向量OA) b(向量OB) c(向量OC)]/(a b c)．
5、在△ABC中，若三个顶点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐是：(ax1/(a b c) bx2/(a b c) cx3/(a b c)，ay1/(a b c) by2/(a b c) cy3/(a b c)
6、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2R2-2Rr
7、△ABC中：a,b,c分别为三边，S为三角形面积，则内切圆半径r2S/(a b c)
8、双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。
9、△ABC中，内切圆分别与AB，BC，CA相切于P，Q，R，
则APAR(b c-a)/2， BP BQ (a c-b)/2, CR CQ (b a-c)/2,
r[(b c-a)tan(A/2)]/2。
10、三角形内角平分线定理：△ABC中，I为内心，∠BAC 、∠ABC、 ∠ACB的内角平分线分别交BC、AC、AB于A、B、C,则BA/CAAB/AC,AB/CBBA/BC,AC/BCCA/CB.