八个泰勒公式
初中如何运用泰勒公式？
初中如何运用泰勒公式？
泰勒公式是将一个在xx0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方法，若函数f（x）在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n 1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x。
什么是泰勒公式？
在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。实际应用中，泰勒公式需要截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒展开式。泰勒公式的余项可以用于估算这种近似的误差。
常用的10个泰勒公式记忆口诀 –？
泰勒公式记忆口诀：“e很规矩，拆为正余，加减交织，正偶余奇。n首无1，叹号拿去，加减交织，其余同e”。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。
泰勒展开公式为e^x 1 x x^2/2 x^3/3 …… x^n/n ……，arctanx x - x^3/3 x^5/5 -……(x≤1)等。
1、泰勒展开式的重要性体现幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易，一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行，泰勒级数可以用来近似计算函数的值并估计误差，证明不等式，求待定式的极限。
泰勒公式的证明？
设pn(x)a0 a1(x-x0) a2(x-xo)^2 ---- an(x-x0)^n(1)
让xx0 a0pn(x0)
对pn(x)两边同时求导 得
pn,xa1 2a2(x-x0) 3a3(x-x0)^2 ---- n(x-x0)^n-1(2)
对2 令xxo 得a1p,n(x0) 类推于是得到
2*1*a2 p,,n(x0)
----------------一般的
n(n-1)*------*3*2*1*anpn(n)(x0)
从而得到系数公式
a0pn(x0 ) a1pn,(x0) a2pn,,(x0)/2!
-------- anpn(n)x0/n!
所以多项式pn(x)f(x0) f,(x0)/1!(x-x0) --- fn(x0)/n!(x-x0)^n
所以以上就是泰勒公式的证明过程
利用泰勒公式可以证明e^x的泰勒展开
设f(x)e^x f,xe^x fn(x)e^x
当x0时候带入泰勒公式
e^x1 x x^2/2! ------ x^n/n!
同理f(x)sinx f,xcosx f,,x.-sinx f,,,x-cosx
f,,,,xsinx 数学归纳法可知 fn(x)sin(x nπ/2)
fn(0)sinnπ/2 f00 f,01 f,,00 f,,,0-1f4(0)0
所以sinxx-x^3/3! x^5/5! ----
又因为cosxdx dsinx所以
cosx1-x^2/2! x^4/4! ----
同理可得tanx 的泰勒
tanxsec^2x tanx^(2)2sec^2xtanx
tan,,,x6sec^4x-4sec ^2x 所以
tanx x 1/3!x ^3 O (x ^3)