无理数的由来数学史方面的故事
如何理解无理数？
如何理解无理数？
现在好多教材都讲道“无限不循环小数即为无理数”这固然是正确的，但从便于理解的角度讲，还是把无理数说成是非比例数比较好，与之对应的就是有理数（比例数）。
这样一来符合数学史，二来也可以无形中解决好多困惑，这样就不必为判断一个比较大的分数化成小数之后循环节在哪里而发愁了，分数显然是有理数。
如何判断一个数是有理数还是无理数，把握以下几点就可以了。1、开方开不尽的数。
2、特殊常数，如圆周率π，自然对数底e。
3、明显有规律但确实无限不循环的数比如0.101001000100001..........
如何证明一个数是有理数通常的思路是反证法，请思考一个问题如何证明根号2＋根号3是无理数。
更深入的理解那就是无理数填补了有理数的“空隙”。
教学如何引导初中数学？
生于公元前551年的孔子，距今已有25OO多年，是众所周知的我国古代教育家，他曾说“不愤不启，不悱不发”。晚孔子40年出生的古希腊大神级的哲学家、思想家、教育家苏格拉底也曾说“最好的教育方法不是告诉人们答案，而是向他们提问”。这些古代先贤们都知道：教育重在引导学生思考问题，自我探究结果（结论、答案）。近现代的教育家们，更进一步地更加细分地提出了有关教育教学的许多观点：如维果斯基的最近发展区理论，强调在学生已知识基础和已有思维能力基础上，引导启发学生学习新的知识；如布鲁纳的认知学习理论，强调发现学习方法的重要，在已有认知结构模块基础上，构建新的模块。
这些都是对于教育的一般性原则和基础理论，而对于初中数学教学这一相对具体的内容而言，则有更加细致细分的原则和方法：一是尽可能地让学生了解数学知识发生、发展的过程；二是尽可能直观地呈现数学知识；三是密切联系学生的生活实际，尽可能情景化地呈现数学知识。
除了这些一般性原则和方法外，还应该充分关注如下三个方面之客观实际：一是从小学到初中教材呈现的数学内容的变化，二是学生心理结构特征尤其是思维结构特征的变化，三是数学这门科学内在的发展规律。
从小学到初中，数学内容发生了很多质的飞跃，一是从数到代数，数与运算更加抽象化、一般化；二是从实验测量几何到演绎推理几何，从经验世界走向理性世界；三是常量世界到变量世界；四是从平面几何到平面直角坐标系几何（解析几何）；五是从确定性到不确定性，从必然世界走向偶然世界；六是从无意识地接触数学思想方法到有意识地学习积累总结数学思想方法的转变；七是从被动学习到逐步领略和欣赏数学的美的转变。这些方面，都需要为师者详加诱导，让学生有比校深刻的体验和感受。
从学生心理思维结构特征来讲，小学生主要以形象思维和经验思维为主，抽象思维有待培养和大幅提高；而初中数学却是抽象思维为主。这就要求为师者做好这方面的培养和引导。
初中数学内容的安排，基本上体现了数学这门科学内在的发展规律，但极个别地方又有偏差，这要求为师者们在教学中要作适当调整和铺垫，以避免造成学生理解和接受上的困难。例如“无理数”这一节的安排，是在初一，而“勾股定理”这一章，却安排在了初二。这与数学历史发展规律是相佐的。数学发展史上，是先有勾股定理（国际上称此定理为毕达哥拉斯定理）的发现，之后才有无理数的发现。教学无理数这一节时，可先介绍一下勾股定理的结论，并利用一下这一结论。了解一点数学史的人都知道，无数理的发现，造成了数学发展史上的第一次数学危机。毕达哥拉斯的一个学生希帕索斯，利用毕达哥拉斯定理，计算直角边为1的等腰直角三角形斜边长时，发现了“根号2”这个无理数，它不能用两个自然数之比来表示出来。此前毕达哥拉斯学派认为：万物都可以用两个自然数之比表示，这就叫做数是世界的本原。为此，希帕索斯被抛入大海而死。如果按照这样的逻辑来介绍无数理的话，则较之于教材上的呈现方式，易于让学生理解。这也是让学生了解知识发生发展的过程的教学方法的一个体现。
下面用几个具体的例子来具体呈现前面说的一些个观点：
比如，考虑到学生形象思维过渡到抽象思维这一过程，处理教材时要尽可能直观地呈现教材内容。在介绍矩形和正方形自身的对称性时，可作如下铺垫。如本文附图（二），可用8个全等的直角三角形和8个全等的等腰直角三角形，构成如附图（二）那样的一个大的矩形和一个大的正方形；大的矩形又由4个全等的小矩形构成，大的正方形又由4个全等的小正方形构造。这样去观察，它们是否是轴对称图形及有几条对称轴就一目了然了。
再比如，小学呈现长方形正方形面积知识的时候，虽然也利用如本文附图（一）的图形，来说明长方形面积公式的由来，但用的是实验测量几何的方法，这是属于经验的方法、感性的方法，但到了初中接触到演绎推理的逻辑思维方法之后，在学了“全等三角形”章节之后，就应该用公理体系的观点来介绍，就应该将过去的知识作适当的拓展和补充，以便学生逐步接近数学的本质特征：单位面积的定义，应视作公理，并且告知学生，此种方法得出的长方形面积公式，是用的类比推理的方法，它是否正确，还有待进一步地证明，这在今后学高等教学时，会给出严谨的证明。这是其一，其二，在小学，平行四边形面积公式、三角形面积公式及梯形面积公式，都是直接给出。在学习了
“全等三角形”知识之后，应该引导学生用演绎推理的办法，来推导出平行四边形的面积公式。我们很容易用割补的方法，来把平行四边形变成矩形，由此便可依据矩形的面积公式来得出平行四边形的面积公式。由平行四边形的面积公式可以演绎推理出三角形和梯形的面积公式，因为两个全等的任意三角形，重合对应相等的边，可以得到三个形状不同而面积相等的平行四边形；任意两个全等的梯形，重合对应相等的腰且长底与短底相结合，可以得到两个面积相等而形状不同的平行四边形。
经过这样的展开深化，面积公式的来龙去脉、之间的相互联系，就非常清晰地得以呈现，再以不用死记硬背它们了；知识不再枯燥，变得有趣多了。在此，应诱导学生对此心得加以推而广之。
限于篇幅，只能谈个一星半点，今后有机会再述。