高等数学无穷小无穷大的简单理解
在高等数学求极限中，无穷大的无穷大次方就是无穷吗？
在高等数学求极限中，无穷大的无穷大次方就是无穷吗？
你用反证法可以证明这类题目假设limf（x） ∞limg（x） ∞假设limf（x）g(x) 有界，那么肯定存在一个数N使得limf（x）g(x)
什么是无穷大什么是无穷小？
无穷大和无穷大是可以比较
的。
在康托尔集合论中，无穷分为可数无穷和不可数无穷
。例如，在描述自然数集和偶数集时，这两个集合可以很清楚看到偶数集是自然数集的真子集，但是它们却是等势
的（即一样多，很不符合我们的观点）：1对应2；2对应4,……一直对应下去。
事实上，康托尔还提到了可数的定义：如果这个集合中的元素能一一罗列出来，那么就是可数的。如自然数集、偶数集、奇数集。
事实上，还有一个更难以置信的集合也是可数无穷集，它就是代数数集
。代数数是所有的代数方程的解的集合，它可以是1，可以是1/3，也可以是根号2，因为它是代数方程：x^22的方程的解。对于每一个代数方程，我们可以列出一个高为A（所有的系数之和）的数，然后它的到解的个数是有限可数的。所以我们能罗列出所有的代数数，因此它是可数无穷集。
因此上面提到的各种集合都是等势的，换句话说，它们中的元素的个数都是相等的。
前几天看到了一道题：往一个有10个球的箱子中放2个球，取走一个球，无穷次操作后还有多少球？
答案是想有多少就有多少球
。
0个：把10个球编号1-10，放两个后，取走1号；然后放入两个，取走2号。以此类推，当次数无穷时，取走了无穷个球，所以没有球了。其实这本质就是等势可数无穷集合的性质
；
3个：从第4个开始取球操作，类似于上面。无穷次操作后，剩下前三个；
无穷个：取放入的其中的一个球，剩下的哪一个编号11；以此类推，无穷次操作后，里面有去穷多个球。
我们之所以在面对无穷时遇到了极大地思维障碍，就是因为无穷这个概念太抽象
了，以至于传言说，晚年康托尔因为思考无穷而进入了精神病院。
那么什么是不可数无穷集合呢？
答案是：实数集。具体地说是超越数集。
我们把实数集按照几种不同的分法，可以分为有理数集合、无理数集合；也可以分为代数数集合、超越数集合。
那么我们如何来证明超越数不可数
呢？
事实上，当时没有人思考无穷的概念，只有康托尔孤军一人在奋战。他用两种方法证明了超越数集不可数。第二种方法简直让人感觉惊为天人，一般我们称它为对角线法
。这个链接对这个对角线法做了的见解，可以了解一下。
因为这种方法实在是太巧秒了，以至于让人看得荡气回肠！
我们就来看看他的第二种方法：
1）我们假设实数集合是可数
的（对，反证法），所以我们枚举实数：
1.2000000......
3.141592653......
1.237492......
29281923.1212231
.....
我们假设枚举的数有无理数π，有有理数，有无理数等。我们假设已经枚举了所有的数，这是我们创造一个数：通过第一个数第一列加一，第二个数的第二列加2，等等，就得到了这样的数：2.249……。可以发现这个数不等于第一个，也不等于第二个......，它不等于任何一个实数。因此我们创造的这个数根本不在这个列表。因此，这个列表是不全的，也就是说，实数是不可数的。
2）通过前面的叙述，我们已经知道，代数数集合是可数的，因此，我们可以创造一个列表，在这个列表可以列出所有的代数数：
1.212121212......
0.278278278......
547832.5000000......
3.939393939......
13.4231323124464......
在这个列表里，有有理数、有代数数根号27等。我们又可以像刚才那样创造一个数：2.3942......，这个数不是第一个数，也不是第二个数，......。因此这个数不属于这个集合，也就是说，这个数不属于代数数。
那么这个数毫无疑问就是超越数，也就是说，我们通过枚举不同的代数数，创造不同的超越数。由于实数不可数，代数数可数，因此，超越数是不可数的。
事实上，可数集合的基数远远小于连续统的基数，而连续统与可数集合的唯一区别就在于是否包含超越数。实际上，随机取一个数，这个数几乎必定是超越数。
忘了说一句，我们到今天都无法系统地证明一个数是否是超越数
。π的证明都是借助了欧拉方程证明不是代数数的。也就是说，我们可以创造一个超越数，但是无法证明它是超越数
。