确界原理证明聚点定理
一元函数有界性和二元函数有界性的比较？
一元函数有界性和二元函数有界性的比较？
首先，不论是一元函数还是二元函数，其有界性都是针对闭区间或闭区域上的连续函数来说的。因为函数连续，所以在其闭区间或闭区域上函数必取得最大值和最小值，所以函数必有界。
一元函数的有界性可以用区间套定理、确界原理、聚点定理、单调有界定理、柯西收敛准则、有限覆盖定理等进行证明，这些定理彼此等价。
对多元函数也有类似的定理，如闭球套定理，完全复盖定理等。
两者的证明方法没有本质的区别而只有烦简的不同，都涉及到分析中的基本概念——极限，同时也是实数系完备性的必然体现。
复变函数中的闭集套定理？
区间套定理与单调有界定理、数列的致密性定理和柯西收敛准则、聚点定理、有限覆盖定理共同构成实数集完备性的基本定理，并且这六个定理是相互等价的，对于研究实数集的完备性具有重要的意义。
任何数列是否都有收敛的子列？
任何数列是存在单调（包括单调递增、单调递减和常数）的子列的，但是不一定存在收敛的子列，单调和收敛不是一个概念。像An(-1)^n，奇数子列和偶数子列分别是常数-1和1，都是单调的；An2^n本身就是单调递增的，所以他的任何一个子列都单调递增。子列肯定是无穷项。
点的原理应用？
聚点原理(accumulative point principle)亦称外尔斯特拉斯定理，或波尔查诺-外尔斯特拉斯定理，刻画实数系R的连续性的常用命题之一。它断言：R(R或度量空间)的每个有界无穷子集至少有一个聚点。它是外尔斯特拉斯(K.(T.W.).Weierstrass)于1860年得到的，在他的证明中采用了波尔查诺(Bolzano，B.)首创的对分法 。
聚点定理的作用？
聚点其实是拓扑学中的一个概念。在数学分析中也称为极限点。给定点集E，对于任意给定的δ〉0，点P的δ去心邻域内，总有E中点，则称为P是E的聚点（或叫作极限点）。
通俗地，对于数轴上点集E的聚点P，我们总可以在E中找到一个无穷数列a(n)（不等于P），使得lima(n）P。
又举例来说，空间中一个球体的内部以及表面上的任何一个点都是该球体的聚点。对于有限点集，是不存在聚点的。聚点可以是E中的点，也可以不属于E。聚点必须相对给定的集合而言，离开了点集E，聚点就没有意义。