如何判断向量组是否等价 举例说明秩相同的两个向量组不一定等价？

如何判断向量组是否等价

举例说明秩相同的两个向量组不一定等价？

举例说明秩相同的两个向量组不一定等价？

如果向量组的秩都等于整个线性空间的秩，则都组成线性空间的基，必互相等价。
否则（如果秩小于整个线性空间的秩）未必成立：例如{(1,0)}和{(0,1)}都是二维欧式空间R^2中的向量组，秩都是1，但(1,0)不能写成(0,1)的倍数，(0,1)也不能写成(1,0)的倍数，所以两者不等价

两向量组的秩不相等一定不等价吗？

两向量组的秩不相等一定不等价。
因为所谓两个向量组等价，就是这两个向量组可以相互线性表出，设第一个向量组被第二个组线性表出，根据秩的性质第一个向量组的秩不超过第二个向量组的秩，因等价第二个组能被第一个组线性表出，这样第二个组的秩又不超过第一组的秩，这样一来，两个向量组的秩就相等了，所以秩不相等就一定不等价。

如何判断矩阵合同、相似、等价？

1、合同即特征值正负0个数分别相同；
2、相似，特征值相同且都可以对角化或者说特征值相同且都有n个线性无关特征向量；
3、等价，秩相等；
合同和相似是特殊的等价关系。
等价一般是指可以通过初等变换变成另一个，本质上只需要两个矩阵秩相同就可以了。是个很宽泛的条件，应用不大。
A相似于B，是存在非异矩阵P，使得PAP^-1B,这个是线性代数或者高等代数里面最重要的关系，高等代数一半左右都在研究这个。相似可以推出等价。
合同和上面看起太有点像，是存在非异矩阵P，使得PAP‘B，注意，这里P’是P的转置，而非逆阵。这一般应用在二次型理论上面。合同也可以推出等价。合同的条件是两个矩阵惯性系数一样。就是说正特征，负特征数目一样。
如果矩阵是正规矩阵，那么相似可以推出合同。
ps，研究合同时往往要求矩阵是对称阵。对称阵都是正规阵。

简述替换原理？

在线性空间V中给出两个有限向量组：
1.a1，a2，…，at,;
2.b1，b2:，…，bs.
若向量组1线性无关，并且向量组1可由向量组2线性表示，则ts,而且适当调整{b1，b2:，…，bs.}次序，使得用a1，a2，…，at替换b1，b2:，…，bs.得的向量组后，所得到的向量与向量组2等价，此即替换定理。
属于数学名词。