方阵的特征值与伴随矩阵的关系
证明，方阵A与方阵AT有相同的特征多项式，从而有相同的特征值？
证明，方阵A与方阵AT有相同的特征多项式，从而有相同的特征值？
(相似矩阵具有相同的特征多项式。)转置矩阵与原矩阵的行列式相同，所以：|A||A^T|（由行列式额度展开式可以证明）A-vE与A^T-vE只有对角线上的元素不同，所以互为转置矩阵，即(A-vE)(A^T-vE)^T；（v代表特征值lumda，没在word，未打出来），所以其行列式相等，由定义，即A与A^T的特征多项式相同。
a的模与a伴随矩阵的模的关系？
当A可逆时, 若 λ是A的特征值, α 是A的属于特征值λ的特征向量；则 |A| / λ 是 A*的特征值, α 仍是A*的属于特征值 |A| / λ 的特征向量。
设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Axλx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。
式Axλx也可写成( A-λE)X0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|0。
设A是数域P上的一个n阶矩阵，λ是一个未知量，
称为A的特征多项式，记|(λ)|λE-A|，是一个P上的关于λ的n次多项式，E是单位矩阵。
|(λ)|λE-A|λ a1λ … an 0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。特征方程|(λ)|λE-A|0的根(如：λ0)称为A的特征根(或特征值)。n次代数方程在复数域内有且仅有n个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。
以A的特征值λ0代入(λE-A)Xθ，得方程组(λ0E-A)Xθ，是一个齐次方程组，称为A的关于λ0的特征方程组。因为|λ0E-A|0，(λ0E-A)Xθ必存在非零解
，
称为A的属于λ0的特征向量。所有λ0的特征向量全体构成了λ0的特征向量空间。
扩展资料：
性质1：n阶方阵A(aij)的所有特征根为λ1，λ2，…,λn(包括重根)，则：
性质2：若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则1/λ 是A的逆的一个特征根，x仍为对应的特征向量。
性质3：若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。
性质4：设λ1，λ2，…,λm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于λi的特征向量( i1,2,…,m)，则x1,x2,…,xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关。
如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：AνλBν
其中A和B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程(A-λB)ν0，得到det(A-λB)0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛(pencil)”。
若B可逆，则原关系式可以写作
，也即标准的特征值问题。当B为非可逆矩阵（无法进行逆变换）时，广义特征值问题应该以其原始表述来求解。
如果A和B是实对称矩阵，则特征值为实数。这在上面的第二种等价关系式表述中并不明显，因为
A矩阵未必是对称的。