利用直角坐标计算二重积分例题
二重积分r怎么求？
二重积分r怎么求？
极坐标系里的二重积分r是指极坐标的极径，表示平面坐标点到原点的距离。在极坐标中求二重积分的注意事项：
1、在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。
2、为得到极坐标下的面积元素dσ的转换，用坐标曲线网去分割D，即用以ra，即O为圆心r为半径的圆和以θb，O为起点的射线去无穷分割D，设Δσ就是r到r dr和从θ到θ dθ的小区域，其面积为可得到二重积分在极坐标下的表达式：
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。
二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。当f(x,y)在区域D上可积时，其积分值与分割方法无关，可选用平行于坐标轴的两组直线来分割D，这时每个小区域的面积ΔσΔx·Δy，因此在直角坐标系下，面积元素dσdxdy。在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。
函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。为得到极坐标下的面积元素dσ的转换，用坐标曲线网去分割D，即用以ra，即O为圆心r为半径的圆和以θb，O为起点的射线去无穷分割D，设Δσ就是r到r dr和从θ到θ dθ的小区域。
二重定积分的计算方法？
把二重积分化成二次积分，也就是把其中一个变量当成常量比如Y，然后只对一个变量积分，得到一个只含Y的被积函数，再对Y积分就行了。
计算二重积分的基本思路是简化积分计算思想，即把二重积分尽可能的转化为累次积分。
为此，必须注意：选取适合坐标，是否分域，如何定限。计算二重积分的主要方法有：利用对称性、奇偶性、变量替换、几何意义化简，利用直角坐标或极坐标化为二次积分，利用分域法，交换积分次序等能大大简化二重积分的计算，只要方法选得适当，二重积分的运算量就会小很多。
二重积分的现实（物理）含义：面积×物理量＝二重积分值；
举例说明：二重积分的现实（物理）含义：
二重积分计算平面面积，即：面积×1＝平面面积；二重积分计算立体体积，即：底面积×高＝立体体积；二重积分计算平面薄皮质量，即：面积×面密度＝平面薄皮质量。
扩展资料：
二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。
在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。