极限存在性怎么讨论
数列界和极限的区别？
数列界和极限的区别？
存在极限一定有界，而有界不一定是极限。有界时函数值可以取到边界，也可以取不到边界，但总在边界一侧，极限就是取不到边界，无限接近边界的情况。
函数的局部有界性是指函数在极限点的邻域内有界,而在整个定义域上并不一定有界. 数列其实可以看作是一个离散的函数.但数列求极限是总是令N趋向于无穷大.而函数求极限则不然,因此数列的有界性是对于整个数列而言的.更直白的说,数列如果存在极限,那么它前面的有限项必然都是有限的数,所以肯定有界,而后面的无限多项由于极限的存在性所以也一定有界的.但是函数不具有这样的特性.
极限值判断规则是什么？
1、利用单调有界必收敛准则求数列极限 首先，用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性，进而确定极限存在性；其次，通过递推关系中取极限，解方程，从而得到数列的极限值。
2、利用函数极限求数列极限 如果数列极限能看成某函数极限的特例，形如，则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限，此时再用洛必达法则求解。
3、求N项和或项积数列的极限，主要有以下几种方法：
（1）利用特殊级数求和法 如果所求的项和式极限中通项可以通过错位相消或可以转化为极限已知的一些形式，那么通过整理可以直接得出极限结果。
（2）利用幂级数求和法 若可以找到这个级数所对应的幂级数，则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出，再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值。
（3）利用定积分定义求极限 若数列每一项都可以提出一个因子，剩余的项可用一个通项表示，则可以考虑用定积分定义求解数列极限。
（4）利用夹逼定理求极限 若数列每一项都可以提出一个因子，剩余的项不能用一个通项表示，但是其余项是按递增或递减排列的，则可以考虑用夹逼定理求解。
（5）求N项数列的积的极限 一般先取对数化为项和的形式，然后利用求解项和数列极限的方法进行计算。
拉链定理证明？
拉链定理：数列 收敛的充要条件是它的两个子数列 和 收敛并且极限值相同.
以例题为例，分析基于拉链定理的递推数列极限存在性证明思路与步骤：
例：验证数列
逼近方程 在 附近的根.
【分析】通过分析它的前几项的值：
发现数列的前5项的大小关系为
{x_2} {x_3} {x_4} {x_5} cdots data-formula-typeblock-equation
因此，无法判定它们的单调性. 但有界性容易得到，即有 ，或可以得到 .
其实，这个例题也可以借助单调有界原理来进行证明。虽然该数列整体上不具有单调性，但是通过观察发现，它的奇数项构成的子数列和偶数项构成的子数列具有可能的单调性。那么，这个结论是不是成立，我们可以验证一下：
首先，借助于数列的递推关系式，可得两数列的描述形式有：
对于数列 :
借助于递推关系式，可得
所以由数学归纳法可得数列单调递减，又由于有界，所以极限存在。从而有
对于数列 :
{x_2} {1 over 2} data-formula-typeblock-equation
借助于递推关系式，可得
所以由数学归纳法可得数列单调递增，又由于有界，所以极限存在。从而有
由于 和 分别为数列 的奇数项构成的数列和偶数项构成的数列，它们的极限存在并且相等，所以由数列极限的拉链定理，可得原数列极限存在，并且就等于它们的极限值。并且这个极限值就为方程 在 附近的根.
【注1】：这个证明过程与出现的数列的项的值，正好与我们在有些参考书上看到的，验证由斐波那契数列的项 构成的一个比值数列 的极限存在性和求极限值的问题一样，只不过这里的数列的项为 。它们两者只要一个存在并能求得极限值，当然另外一个也存在并且极限值互为倒数。
数列 的递推公式借助斐波那契数列递推公式 可以得到：
【注2】：这样的数列的一个特征是间隔一项具有单调性：如
【注3】：斐波那契数列是由如下递推公式确定的数列：