证明收敛的数列必定有界
如何证明函数收敛？
如何证明函数收敛？
判断函数和数列是否收敛或者发散：
1、设数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得nN时，恒有|Xn-a|q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛。
2、求数列的极限，如果数列项数n趋于无穷时，数列的极限能一直趋近于实数a，那么这个数列就是收敛的；如果找不到实数a，这个数列就是发散的。看n趋向无穷大时,Xn是否趋向一个常数,可是有时Xn比较复杂,并不好观察。这种是最常用的判别法是单调有界既收敛。
3、加减的时候,把高阶的无穷小直接舍去如 1 1/n,用1来代替乘除的时候,用比较简单的等价无穷小来代替原来复杂的无穷小来如 1/n * sin(1/n) 用1/n^2 来代替
4、收敛数列的极限是唯一的，且该数列一定有界，还有保号性，与子数列的关系一致。不符合以上任何一个条件的数列是发散数列。另外还有达朗贝尔收敛准则,柯西收敛准则,根式判敛法等判断收敛性
“单调有界数列收敛”，函数是否也符合呀？
我的以下这些说法正确吗？
1.收敛数列一定有界。
2.收敛数列不一定单调你这两个提法都是正确的。单调有界函数并收敛单调的有界函数并不一定收敛，如分段函数f(x)10x1f(x)21x2在（0，2）上有任意x1小于等于x2，f(x1)小于等于f(x2)但“极限”是1或2，也就是说两个“极限”，即极限不存在而且也许是我孤陋寡闻，我发现对于一般函数，只听说有函数的极限是某某，或者顶多说极限为无穷，没听说讨论敛散性，只有反常积分，和函数项级数那里看到了“收敛”这个词。敛散性是在无穷区间上讨论的问题，所以单调函数在由穷区间内没听说讨论敛散性的
利用cauchy收敛原理证明单调有界数列必定收敛？
单调有界数列必有极限是极限理论中一个很重要的结论,而柯西收敛准则则以另一种形式表这了这一结论。本文就是利用数学理论证明了这两个定理是等价的。
如果Xn∈R并且d(Xn,Xn 1)≤d(Xn-1,Xn)/2。
数列{xn}有极限的充要条件是：对任意给定的ε0，有一正整数N，当m,nN时，有|xn-xm|
函数f(x)在无穷远处有极限的充要条件是：对任意给定的ε0，有Z属于实数，当x,yZ时，有|f(x)-f(y)|
证明举例：
证明：xn1-1/2 1/3-1/4 ...... [(-1)^(n 1)]/n 有极限
证：对于任意的m,n属于正整数，mn
|xn-xm|| [(-1)^(n 2)]/(n 1) ...... [(-1)^(m 1)]/m |
当m-n为奇数时 |xn-xm|| [(-1)^(n 2)]/(n 1) ...... [(-1)^(m 1)]/m |
（1/n-1/m）→0
由柯西收敛原理得{xn}收敛
当m-n为偶数时 |x珐长粹短诔的达痊惮花n-xm|| [(-1)^(n 2)]/(n 1) ...... [(-1)^(m 1)]/m |
(1/n-1/(m-1)-1/m）→0
由柯西收敛原理得{xn}收敛
综上{xn}收敛，即{xn}存在极限
数列{xn}有极限的充要条件是：对任意给定的ε0，有一正整数N，当m,nN时，有|xn-xm|