初等行变换为什么不改变列秩
不改变矩阵秩的变换一定是可逆变换吗？
不改变矩阵秩的变换一定是可逆变换吗？
一个可逆矩阵乘以一个任意矩阵,不改变他的秩
可逆矩阵可以表示为初等矩阵的乘积
而初等变换不改变矩阵的秩
所以,
用可逆矩阵A乘一矩阵B,
相当于对B作一系列的初等行变换
所以
AB
的秩不变,
仍是
B
的秩
这里有一个重要定理，
r(AB)≤r(B)
比如A可逆，
所以
(1)r(AB)≤r(B)
(2)r(B)r(A的逆·AB)
≤r(AB)
∴
r(AB)r(B)
初等行变换为什么要化成最简形？
行最简形是唯一的,梯矩阵不唯一
非零行数即矩阵的秩,唯一
首非零元必须是1,限制了非零行的非零倍数
首非零元所在列其余元素为0,这限制了必须做的倍加变换
为什么矩阵a一次初等变换成矩阵b那么矩阵b的秩大与等于矩阵a的秩？
这就是矩阵等价的定义呀，若A经过若干次初等行、列变换化为B，则A与B等价。
矩阵等价的本质是秩相同，只要两个m×n的矩阵秩相同，它们就是等价的。初等变换不改变矩阵的秩，因此初等变换每一步得到的矩阵都是等价的。
矩阵变换就是空间变换，三维矩阵初等变换还是三维空间，
所以是等价的，只不过空间里的物体发生变形，这正是我们需要的，本来空间里有一个斜着的立方体，我们不好算，可以把空间经过初等变化，把它变成竖直的立方体，这样方便计算。
解方程也是如此，1/2x＋1/4y6难道你不想化简成2x＋y24。
这在二维空间里就好比把一个二维图像放大了，空间纬度不变，只是空间里的图像发生变化，我们就叫他等价，这样你算出来的xy也是不变的，因为图像长宽变大了，面积也跟着变大了，因为这些都是线性变换，大学只学，就是线性代数
逆矩阵和原来矩阵秩的关系？
1.矩阵A经初等变换化为B,则存在可逆矩阵P,Q使得PAQB
2.由于初等变换不改变矩阵的秩,故A与B的秩相同.所以我们可以把A化成一个简单的形式便于求矩阵的秩
3.对A进行初等行变换,不改变A的列向量之间的线性关系.这可用来求向量组的极大无关组和秩,并用极大无关组表示其余向量
4.解线性方程组Axb,实际上就是将向量b用A的列向量线性表示出来,同(3),对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换即可求解.
5.求逆矩阵:(A,E)用初等行变换化为(E,X),X即为A的逆.
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